Introducción

El término “cuadrático" pasó por 3 etapas: Las ecuaciones las cónicas, la cinemática y las funciones.

Las cónicas y en particular la parábola se consideran en la actualidad como referentes importantes de relaciones cuadráticas, sin embargo se observa que surgieron de forma independiente a las nociones de variación y cambio relativas al concepto de función.

La cinemática es una reflexión importante, pues es el continuo vínculo que existió entre las matemáticas y la física en la cual se puede visualizar una nueva visión de la matemática que esté asociados a la explicación de fenómenos de la naturaleza que se convierten en motivo para generar actividad matemática.

Y las funciones en las cuales uno de los primeros en cimentar formalmente al concepto de función es Newton. Este matemático y físico utiliza el álgebra simbólica y la geometría analítica para construir el cálculo diferencial.

En este blog se abordara el tema de funciones y ecuaciones de segundo grado o cuadráticas, empezando desde una perspectiva histórica y finalizando con la práctica de estas.

Se partirá primeramente con una explicación más detallada de cómo surge el termino cuadrático y las etapas por las que paso; posteriormente definiremos el concepto de función de segundo grado, seguido del de ecuación de segundo grado en las cuales de igual manera podrás encontrar características de ellas y enlaces a sitios web los cuales son gratificadores o software que te serán de utilidad para resolverlos y llagar a la solución exacta de problemas de este tipo, al igual que su relación entre función y ecuación de segundo grado. Para finalizar, estos temas también son utilizados durante la vida cotidiana por esta razón también analizaremos los lugares, sitios, trabajos o actividades en donde son aplicadas o implementadas.

La información contenida en este blog fue adquirida a través de una selección bibliográfica de sitios web acreditados, es decir, páginas que contiene información verídica.

Esta breve exposición pretende, en su simpleza brindar información clara y precisa acerca de estos temas al igual que ayudar a los lectores a entender y comprender mejor, poco de lo que esto relaciona.

Marco teórico

El termino"cuadrático" pasó por 3 etapas: Las ecuaciones las cónicas, la cinemática y las funciones.

CÓNICAS 

En el rastreo histórico se puede determinar otro momento que cumplió un papel muy importante en la conceptualización de “lo cuadrático”. Se resaltan principalmente en las siguientes culturas:

Griega: Llama particularmente la atención la formulación de las secciones cónicas por Apolonio quien a la vez las estudia aproximándose de una forma sorprendente al estudio de coordenadas. En la literatura revisada se puede inferir que de no ser por los pocos recursos conceptuales de los que disponía Apolonio hubiese dado un paso importante a la creación de la geometría analítica. Es importante además el significado de “parábola” como equipa-ración, similar al concepto de paralelogramo de Euclides en los que por supuesto se encuentra la figura cuadrilátera, cabe inferir como la concepción cuadrática se refiere a un proceso también de conversión de áreas.

 Las cónicas y en particular la parábola se consideran en la actualidad como referentes importantes de relaciones cuadráticas, sin embargo se observa que surgieron de forma independiente a las nociones de variación y cambio relativas al concepto de función. Vale la pena generar las reflexiones pertinentes sobre las implicaciones que tendría en el aula de clase continuar replicando esta parte de la historia abordando dichos conceptos de manera independiente o por el contrario, evaluar las implicaciones que tendría para la comprensión de ambos conceptos de manera conjunta.

CINEMÁTICA

Sin lugar a duda el movimiento es tan antiguo como la existencia misma, con Aristóteles y posteriormente con Oresme se observa un primer trabajo del movimiento pero hubo de esperar hasta el siglo XVII para un conocimiento físico – matemático más sólido del comportamiento de éste, pero este desarrollo no puede verse como algo lento, ya que la historia ha mostrado hasta este apartado como fue necesaria la construcción de algunos cimientos para ser concebida. Una reflexión importante es el continuo vínculo que existió entre las matemáticas y la física en la cual se puede visualizar una nueva visión de la matemática que esten asociados a la explicación de fenómenos de la naturaleza que se convierten en motivo para generar actividad matemática.

FUNCIONES

Uno de los primeros en cimentar formalmente al concepto de función es Newton. Este matemático y físico utiliza el álgebra simbólica y la geometría analítica para construir el cálculo diferencial. En su obra Los Principia se observa “lo cuadrático” asociadas a fenómenos naturales con un carácter mas funcional aunque no se hiciera explícito, pues esta obra es una muestra de quien concibe y formula expresiones cuadráticas y a la vez formula expresiones que son sometidas a un estudio en esta nueva rama de las matemáticas, a saber El Cálculo. 

Definición de función de 2° grado

Una función de segundo grado o cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

f (x) = ax2 + bx + c

Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero. Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta.

Si representamos "todos" los puntos (x, f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Las parábolas tienen muchas propiedades que pueden ayudarnos a graficar ecuaciones cuadráticas. Una parábola tiene un punto especial llamado vértice; este es el punto donde la U "da la vuelta".

El vértice es el punto más alto o más bajo de la curva, dependiendo si la U se abre hacia arriba o hacia abajo. En el caso de que la parábola abra hacia arriba, el vértice será su punto más bajo; y una parábola que abre hacia abajo, tendrá un vértice en su punto más alto.

Todas las funciones parabólicas tienen un eje de simetría vertical, una línea imaginaria que pasa a través de la mitad de la forma de U y la divide en dos mitades que son imágenes de espejo una de la otra. El eje de simetría siempre pasa por el vértice. Cualquier par de puntos con el mismo valor de y estarán a la misma distancia del eje. 

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA.

·         El Dominio de toda función cuadrática es el conjunto de todos los números reales.

·         El Rango de toda función cuadrática depende de la concavidad de la parábola

 También suele decirse que:

   Si  a > 0 la parábola es cóncava o con ramas hacia arriba.

   Si  a < 0 la parábola es convexa o con ramas hacia abajo.

CARACTERÍSTICAS DE LA GRAFICACION DE UNA FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO

Raíces

Las raíces (o ceros) de la función cuadrática son aquellos valores  de x  para los cuales la expresión vale 0, es decir los valores de x tales que y = 0. Gráficamente corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x. 

 Simetría

La parábola presenta simetría respecto a una cierta recta vertical. Es decir, si conocemos dos puntos del gráfico, el eje de simetría pasará por el punto medio entre estos.

 Orientación

Cóncava o convexa:

La orientación o concavidad de la parábola. Hablamos de parábola cóncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y hablamos de parábola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo. 

Vértice

El vértice de la parábola está ubicado sobre la recta de simetría 

En el vértice se calcula el máximo (o el mínimo) valor de la función de acuerdo a que la parábola tenga sus ramas para abajo o para arriba.

¿Donde puedo graficar una función de segundo grado?

Uno de los programas que podemos usar se llama Geogebra, el cual está disponible para Iphone (App store), Android, y Pc (Windows). Estas son sus características: 

Definición de ecuación de 2° grado

Definición de Ecuación

En la Matemática se le llama ecuación a la igualdad de dos expresiones algebraicas, que serán denominados miembros de la ecuación. En las ecuaciones se verán relacionados con operaciones matemáticas, números y letras (incógnitas).

En tanto, cuando cualquiera de los valores de las variables de la ecuación cumpla la igualdad, se denominará a esta situación como solución de la ecuación.

A continuación, se mostrará unas simples ecuaciones y su método de solución

https://www.definicionabc.com/general/ecuacion.php

Ecuación de Segundo Grado

Son ecuaciones de segundo grado aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x²). Por ejemplo: 3x² - 3x = x - 1.

Pasemos al primer miembro de la ecuación todos los términos de forma que en el segundo miembro quede 0. Obtenemos:

3x² - 4x + 1 = 0, que es la forma en que deberemos expresar todas las ecuaciones de segundo grado para resolverlas.

En muchos casos, una vez conseguida esta forma, la ecuación se puede simplificar, lo cual es muy conveniente.

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/Descartes1/4a_eso/Ecuacion_de_segundo_grado/Ecua_seg.htm

Relación entre ecuación y función de segundo grado

El concepto de función es muy rico en cuestiones de las matemáticas, ya que nos permite establecer relaciones indicando la dependencia e independencia entre uno u otro elemento (dualmente).

Permitiendo a sí mismo formular nuestras relaciones de tal forma que más nos convenga. Por ejemplo, supongamos que todos los días compramos tortillas, para lo cuál el kilo tiene un valor de 13 pesos constantemente o sea día a día vale lo mismo..

Pero un día compramos un kilo otro día dos, tres, etc.

Afirmando que la variación entre la relación de ayer y hoy en cuestión del valor de las tortillas es la misma al pasar los días, podríamos asumir que la pendiente de nuestra relación creada es 13, pues estamos otorgando al concepto de pendiente (La velocidad de variación). Que áreas superiores se denomina diferencial.

En vista de lo afirmado podemos ir generando otro significado a las dos variables que comúmente se utilizan para denotar una función (Relación) “y” y “x” donde (y) es la variable dependiente y (x) es la variable independiente, tal como indica la notación..

y = f(x)

“y” en nuestro caso representa el gasto diario en tortillas..

“x” representa la cantidad de kilos adquiridos diariamente.

Por tanto esto nos permite observar ahora nuestras variables con otro nivel significante. Para la iluminación de este hecho generalmente representamos tales relaciones en un marco de referencia que denominamos (Sistema de coordenadas), en nuestro caso será el (Sist. coordenadas bidimensional)

Todo esto nos conlleva a pensar que la relación de una ecuación de segundo grado con respecto a una función, es una situación completamente conocida ya que la misma ecuacion indeterminada es una función indeterminada, solo que no existe la posibilidad que dentro del marco de la ecuación se indique un cambio de valor en una de las variables vista como función ya que el caso de la ecuación en una caso particular de la función (Valga la redundancia). De tal forma que si denotamos una ecuación de acuerdo al anterior problema con un valor igualado da a conocer que en el mundo de relaciones en nuestro problema sucedió un solo hecho - cosa.

Aplicacion de la funcion de 2° grado

Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos.

Son fundamental mente utilizadas en:

• Ingeniería
• Arquitectura 
• Deportes
• Lanzamiento de objetos

Aplicación de la ecuación de 2° grado

En la vida cotidiana se presentan muchos eventos para los cuales el ser humano se ve en la necesidad de utilizar o formular un lenguaje, que facilite representar y entender dichos eventos.

 A este lenguaje tendemos a implementarlo mediante una simbología en la cual podamos representar razones de cambios o movimientos en función de algo; como por ejemplo:

• EL aumento de la población
• El ascenso o descenso de temperatura
• El cambio de velocidad de algún cuerpo
• La velocidad de desintegración de un material
• El cambio de un monto de interes
• El cambio en una reacción química

Todos estos ejemplos comparten en común su variabilidad con respecto del tiempo, es decir, que el fenómeno estudiado tendrá una oscilación de valores para cada unidad de tiempo en la cual se estudie. A este lenguaje que utilizamos para representar dichas razones de cambio las hacemos mediante las ecuaciones diferenciales.

Pero para llegar a la elaboración de un modelo matemático es importante primero identificarlas variables que intervienen en el cambio del sistema.

Gustav Robert Kirchhoff, fue un físico alemán que elaboro la teoría relativa a las redes eléctricas y fue un precursor de la espectroscopia.

Las leyes de Kirchhoff fueron formuladas en 1845, mientras aún era estudiante.

Son muy utilizadas en la ingeniera eléctrica para obtener los valores de la corriente y el potencial en cada punto de un circuito eléctrico.

Estas leyes nos permiten resolver los circuitos utilizando el conjunto de ecuaciones al que ellos responden.

Conclusiones

En conclusión una función de segundo grado o cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma: f (x) = ax2 + bx + c

Donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero. Si la ecuación tiene todos los términos se dice ecuación completa, si a la función le falta el término lineal o independiente se dice que la ecuación es incompleta. Y las  ecuaciones de segundo grado son aquellas en las que la incógnita aparece al menos una vez elevada al cuadrado (x2). 

Por ejemplo: 3x2 - 3x = x - 1. La  relación es que, de una ecuación de segundo grado con respecto a una función, es una situación completamente conocida ya que la misma ecuación indeterminada es una función indeterminada, solo que no existe la posibilidad que dentro del marco de la ecuación se indique un cambio de valor en una de las variables vista como función ya que el caso de la ecuación en un caso particular de la función. Estas dos tienen grandes aplicaciones en algunas actividades humanas por ejemplo: Las funciones cuadráticas ayudan a predecir ganancias y pérdidas en los negocios, graficar el curso de objetos en movimiento, y asistir en la determinación de valores mínimos y máximos.

Y las ecuaciones de segundo grado son utilizadas en actividades como, EL aumento de la población, El ascenso o descenso de temperatura, etc. ya que Todos estos ejemplos comparten en común su variabilidad con respecto del tiempo, es decir, que el fenómeno estudiado tendrá una oscilación de valores para cada unidad de tiempo en la cual se estudie, por eso, para la representación de estas razones las hacemos mediante las ecuaciones diferenciales.

Bibliográficas

DEFINICIÓN DE FUNCIÓN DE SEGUNDO GRADO:

Martínez M. Función Cuadrática. Características. Abril 23, 2018, de UTN Sitio web: 

http://www.sceu.frba.utn.edu.ar/dav/archivo/homovidens/Marcela%20Martinez/funcion_cuadratica_caracteristicas_nuevo.htm

APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN DE 2° GRADO

Anónimo. Aplicaciones de las Funciones Cuadráticas. Mayo 07, 2018, de Monterey Institute Sitio web: 

http://www.montereyinstitute.org/courses/Algebra1/COURSE_TEXT_RESOURCE/U10_L2_T1_text_final_es.html